Vienanariai ir daugianariai

Skaitinio dauginamojo(koeficiento) ir raidinių dauginamųjų sandauga vadinama vienanariu.
Raidiniai dauginamieji gali įgyti įvairias reikšmes, todėl jie vadinami kintamaisiais.
Skaičiai taip pat laikomi vienanariais.

Pavyzdžiai:
7ab, -3ab², -5.

Vienanarių suma vadinama daugianariu:
3a² + ab + 5

Skaitiniai reiškiniai ir reiškiniai su kintamaisiais vadinami algebriniais reiškiniais.
Vienanariai vadinami panašiais, jei jie yra vienodi arba skiriasi tik koeficientais.
Norint sutraukti panašius narius, reikia sudėti jų koeficientus, o raidinė dalis lieka ta pati.
Jei panašių narių nėra, tai reiškinio suprastinti negalima.

Norint sudauginti arba padalyti vienanarius, reikia sudauginti(padalyti) jų koeficientus, o raidines dalis
pertvarkyti pagal laipsnių taisykles.
3a²b * 2ab²c = (3 * 2)(a² * a)(b² * b) * c= 6a³b³c

Norint vienanarį padauginti iš daugianario, reikia vienanarį dauginti iš kiekvieno daugianario nario.
5a(a – b + 5) = 5a * a – 5ab + 25a = 5a² – 5ab + 25a

Norint sudauginti daugianarius, reikia kiekvieno daugianario kiekvieną narį padauginti iš kito daugianario kiekvieno
nario ir gautas sandaugas sudėti.
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Norit daugianarį padalyti iš vienanario reikia daugianario kiekvieną narį padalyti iš vienanario.
(a + b + c) : x = a/x + b/x + c/x
Norint daugianarį padalyti iš daugianario, reikia daugianarius išskaidyti dauginamaisiais ir suprastinti.

DBD ir MBK

Dviejų arba daugiau skaičių didžiausias bendras daliklis (santrumpa DBD) – tai didžiausias skaičius, kuris dalina visus tuos skaičius be liekanos. Jeigu didžiausias bendras daliklis yra 1, tuomet šie skaičiai vadinami tarpusavyje pirminiais.

Pavyzdžiui, skaičių 441 ir 42 didžiausias bendras daliklis yra 21. Skaičių 15 ir 28 jis yra 1, kadangi šie skaičiai bendrų daliklių neturi. Suskaičiuoti DBD galima atrenkant bendrus skaičius iš skaidinio pirminiais skaičiais. Pirmo pavyzdžio atveju, 441=3²·7² ir 42=2·3·7. Abiem skaidiniams bendri skaičiai mažiausiais laipsnių rodikliais yra 3·7, o tai ir yra 21.

Didelių skaičių DBD radimui gali būti naudojamas Euklido algoritmas.

Mažiausias bendras kartotinis (MBK)

Natūraliųjų skaičių a ir b mažiausiuoju bendruoju kartotiniu MBK vadinamas mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi ir iš skaičiaus a, ir iš b, t. y. mažiausias iš visų bendrųjų kartotinių. Skaičių a ir b mažiausias bendrasis kartotinis žymimas MBK(a, b).

Pavyzdžiui, skaičių 8 ir 12 mažiausias bendrasis kartotinis yra skaičius 24, t. y. MBK(8,12)=24.

Skaičiavimas

Ieškodami dviejų skaičių mažiausiojo bendrojo kartotinio:

1. Tuos skaičius išskaidome pirminiais dauginamaisiais;
2. Vieno jų skaidinį papildome trūkstamais kito skaidinio dauginamaisiais;
3. Apskaičiuojame gautų dauginamųjų sandaugą.

Pirminis skaičius

Pirminis skaičius yra bet kuris natūralusis sakičius, didesnis nei 1, kuris dalinasi tik iš savęs ir vieneto. Vienetas nelaikomas nei pirminiu skaičiumi, nei sudėtiniu. Keletas mažiausių pirminių skaičių:  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, …

Pirminių skaičių yra be galo daug. Didžiausias žinomas pirminis skaičius iki 2008 m. rugsėjo buvo 2^32582657 – 1.

Eratosteno rėtis

Graikų matematikas Eratostenas dar II a. pr. m. e. pasiūlė paprastą metodą kaip rasti visus pirminius skaičius nuo 2 iki n. Metodas labai paprastas – reikia surašyti visus skaičius nuo 2 iki n ir pradurti sudėtinius skaičius. Tokius būdu lieka ‘rėtis’, kuriame liko tik pirminiai skaičiai.

Pradūrimas vyksta taip: iš pradžių niekas nėra pradurta. Pradedant nuo 2, ieškome nepradurto skaičiaus – randame 2. Tada praduriame visus dvejeto kartotinius. Vėl ieškome pirmo nepradurto skaičiaus – randame 3. Praduriame visus trejeto kartotinius. Dabar ieškodami jau randame 5, nes 4 yra pradurtas.

Eratosteno rėčio metodas

Pirmiausia – surašomi visi skaičiai nuo 2 iki n:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Skaičius 2 pirminis, taigi perbraukiame visus didesnius skaičius, kurie dalijasi iš 2, t. y. kas antrą:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Toliau imame kitą neužbrauktą skaičių ir išbraukiame visus jo kartotinius. Taip kartojame ir gauname:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17.

Merseno skaičiai

Žymus prancūzų fizikas ir mokslo populiarintojas M. Mersenas  pastebėjo, kad daugelio pirminių skaičių pavidalas yra 2^p-1 (p – pirminis skaičius).
Visi tokio pavidalo skaičiai vadinami Merseno skaičiais. Tačiau ne visi Merseno skaičiai yra pirminiai.

Išplestinis Euklido algoritmas

Išplėstinis Euklido algoritmas yra Euklido algoritmo tęsinys, skirtas rasti dviejų natūraliųjų skaičių a ,b didžiausią bendrą daliklį, bei rasti sveikuosius  x, y , tenkinančius  ax+by=dbd(a,b)

Algoritmo pavyzdys:

Imkime = 46, = 32. Nuosekliai atlikdami veiksmus gauname:

46 = 32 × 1 + 14;

32 = 14 × 2 + 4;

14 = 4 × 3 + 2;

4 = 2 × 2;

Gavome, kad dbd(46,32) = 2.

2 = 14 + 4 × (-3) = 14 + (32 + 14× (-2)) × (-3) = 32 × (-3) + 14 × 7 = 32 × (-3) + (46 – 32) × 7 = 32 × (-10) + 46 × 7.