Polinomo su realiaisiais koeficientais realiųjų šaknų apskaičiavimo artutiniai metodai

Turime polinomą f(x) su realiaisiais koeficiantais, neturintį kartotinių šaknų. Be to, žinome, kad intervale [a;b] yra tik viena to polinomo šaknis l, kurią norime apskaičiuoti nurodytu tikslumu, t.y. esant duotam ð>0, reikia rasti tokį ĺ, kad būtų       ǀ ĺ -lǀ≤ ð. Kiekvienas artutinis metodas yra algoritmas, kuriuo galime sukonstruoti tokią seką l₁, l₂,…,l_m,…, kad riba lim l_m = l( kai m artėja į ∞), ir nustatyti, už kokį skaičių  yra ne didesnis skirtumas  ǀ ĺ -lǀ kiekvienam m. Tada norėdami apsakičiuoti šaknį nurodytu tikslumu ð, turėsime rasti tokį sekos {l_m} narį ĺ = l_N , kad būtų:

ǀl_N – lǀ ǀ≤ ð. Nuosekliai  vieną po kito apskaičiuosime sekos narius l₁, l₂,…,l_k,… Narį l_k vadinsime k-ąja iteracija.

Nėra paprasta palyginti du metodus ir nustatyti, kuris iš jų yra geresnis. Reikia atsižvelgti į konvergavimo  greitį ir į tai, kad veiksmų reikia atlikti, taikant atitinkamą metodą.

Simetriniai polinomai

Iš visų n kintamųjų  polinomų simetriniai polinomai yra paprasčiausi ir plačiai taikomi. n kintamųjų polinomas s virš Z yra vadinamas simetriniu, jei kiekvienam skaičių 1, 2,…,n kėliniui i_1,…, i_n yra teisingas sąryšis:

S(x₁,…,x_n)=s(x_i1,…,x_in).

Pvz.: x  x₁² + x₂² + x₃²,   3 x₁ x₂ – x₁ – x₂ ir  x₁^k + x₂^k + …x_n^k kiekvienam k ≥ 0 yra simetriniai  virš S polinomai.

Teorema: Simetrinių virš integralumo srities Z su vienetu polinomų aibė yra žiedas. Įrodymui užtenka, kad simetrinių polinomų suma ir sandauga yra simetrinis polinomas.

Kompleksinių skaičių laukas

Kompleksinis skaičius yra dviejų realiųjų skaičių pora z:

z = (a,b) = a + b * i = Re(z) + iIm(z),

kur a ir b – realieji skaičiai, o i = (0,1) – menamasis vienetas tenkinantis sąlygą:

i² = − 1

Skaičius a vadinamas realiąja z dalimi, žymima a = Re(z), skaičius b vadinamas menamąja z dalimi, žymima b = Im(z).

Kompleksinių skaičių aibė žymima C:  C = {a + b * i}

Kompleksinių skaičių laukas:

Formaliai kompleksinis skaičius gali būti apibrėžtas kaip išrikiuota dviejų realių skaičių (a, b) pora su įvestomis operacijomis:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

(a,b) * (c, d) = (ac – bc, bc + ad)

Taip apibrėžti kompleksiniai skaičiai sudaro lauką, kompleksinių skaičių lauką, žymimą C (laukas matematikoje yra algebrinė struktūra, kurioje apibrėžtos sudėties, atimties, daugybos ir dalybos operacijos, turinčios tam tikras algebrines savybes. Pvz., realieji skaičiai yra laukas).

Realusis skaičius a yra sutapatinamas su kompleksiniu skaičiumi (a, 0), ir tuo būdu realiųjų skaičių laukas R tampa C dalimi. Menamasis vienetas i apibrėžiamas kaip kompleksinis skaičius (0, 1), kuris tenkina:

(a,b) = a * (1,0) + b * (0,1) = a + bi ir i²=(0,1) * (0,1) = (-1,0) = -1

Lauke C mes turime:

• vienetinį elementą sudėčiai („nulį“): (0, 0)
• vienetinį elementą daugybai („vienetą“): (1, 0)
• atvirkštinį elementą sudėties operacijai (a,b): (−a, −b).

Uždaviniai (III-IV skyriai)

1. Įrodykite, kad kvaternijonų aibė yra žiedas.
2. Įrodykite, kad diagonalinių n-os aibės matricų aibė yra komutatyvus žiedas.
3. Įrodykite, kad tiesinių n-matės vektorinės erdvės operatorių aibė yra žiedas.
4. Patikrinkite, ar realiųjų ir grynai menamų skaičių aibės sudaro pižiedį kompelksinių skaičių žiede K.
5. Patikrinkite, ar sudaro idealą n-osios eilės diagonalinių matricų aibė n-osios eilės maricų žiede.
6. Parašykite po 5 sveikųjų skaičių žiedo idealų
   1. (3, 10)
   2. (7)
   3. (2, 4, 6)
   4. (12, 18)
   5. (a, b, c) elementus.
7. Raskite visių liekanų klasių, realytiviai pirminių su moduliu, atvirkšines klases moduliais 8, 9, 10, 11.
8. Įrodykite, kad skaičiai 33, -28, 16, 46, -29, 26, 29, -17 sudaro p.l.s. moduliu 8.
9. Raskite, kiek yra mažesnių už 50 dviženklių natūrinių skaičių, kurie nėra reliatyviai pirminiai su 50.

10.  Apskaičiuokite Miobiusto funkcijos reikšmes µ(n),  10<=30.

Polinomo diskriminantas

Polinomas f(x) virš nulinės charakteristikos lauko turi kartotinių šaknų tada ir tik tada, kai polinomas f(x) ir jo išvestinė turi benrdrų šaknų. Norint nustatyti, ar polinomas turi kartotinių šaknų, reikia rasti polinomo ir jo išvestinės DBD: jeigu jis lygus 1, tai polinomas f(x) neturi kartotinių šaknų. Jeigu (f,f`) yra nenulinio laipsnio polinomas, tai polinomas f(x) turi kartotinių šaknų. Čia išsiaiškinsime, kaip nustatoma ar polinomas turi kartotinių šaknų, naudojantis diskriminantu.

Kaip žinoma, kvadratinės lygties x²+px+q=0 diskriminantu yra vadinamas reiškinys D=p²-4q. Jeigu D, tai lygtis turi dvi skirtingas šakni; jeigu D=0, tai lygtis turi dvi lygias šaknis. Taigi nežinant pačių šaknų, naudojantisn diskriminantu D galima nustatyti ar antrojo laipsnio polinomas x²+px+q turi kartotinių šaknų, ar jų neturi. Pažymėję to polinomo šaknis l₁ l₂ ir pasinaudoję Vijetos formulėmis l₁+l₂=-p   l₁l₂=q gauname diskriminanto D išraišką polinomo šaknimis

D=(l₁+l₂)²-4l₁l₂=(l₁-l₂)²=(l₂-l₁)² . Iš čia aiškiai matyti, kad D=0 tada ir tik tada, kai l₁=l₂ .

Dalumo požymiai

Sumos dalumo teorema. Jeigu kiekvienas dėmuo dalijasi iš to paties skaičiaus, tai ir suma dalijasi iš to paties skaičiaus.
Sandaugos dalumo teorema. Jeigu bent vienas sandaugos dauginamasis dalijasi iš kurio nors skaičiaus, tai ir sandauga dalijasi iš to skaičiaus.

Natūralusis skaičius dalijasi iš:

[2], kai jo paskutinis skaitmuo dalijasi iš 2.
[3], kai jo skaitmenų suma dalijasi iš 3.
[4], kai iš 4 dalijasi dviženklis skaičius, sudarytas iš paskutiniųjų dviejų skaičių skaitmenų arba kai du jo paskutiniai skaitmenys nuliai.
[5[, kai jo paskutinis skaitmuo yra 0 arba 5.
[6], kai jis dalijasi iš 2 ir iš 3.
[8], kai trys jo paskutinai skaitmenys yra nuliai arba sudaro skaičių, kuris dalijasi iš 8.
[9], kai jo skaitmenų suma dalijasi iš 9.
[10], kai jo paskutinis skaitmuo yra 0.
[11], kai skaitmenų, esančių nelyginėse vietose, suma arba lygi sumai skaitmenų, esančių lyginėse vietose, arba skiriasi nuo jos skaičiumi, kuris dalijasi iš 11.

Pavyzdžiui, skaičius 103785 dalijasi iš 11, nes skaitmenų, užimančių nelygines vietas, suma 1+3+8=12 lygi sumai skaitmenų, užimančių lygines vietas 0+7+5=12; skaičius 8172538 dalijas iš 11, nes sumos 8+7+5+8=28 ir 1+2+3=6 skiriasi viena nuo kitos 22 vienetais (28-6=22), o skaičius 22 dalijasi iš 11.[15], kai jis dalijasi iš 3 ir 5.
[25], kai du paskutiniai jo skaitmenys yra nuliai arba sudaro skaičių, kuris dalijasi iš 25, t.y. kada skaičius baigiasi skaitmenimis 00, 25, 50 arba 75.
[30], kai jis dalijasi iš 2, 3 ir 5.
100], kai du paskutinieji jo skaitmenys yra nuliai.
[1000], kai trys paskutiniai jo skaitmenys yra nuliai.

Uždaviniai (I skyrius)

1. Įrodykite 1, -8 ir 10 dalumo savybes.
2. Raskite, kiek triženklių skaičių skaičių dalijasi iš 35.
3. Raskite, kurie iš skaičių n, 260023000, yra pirminiai.
4. Įrodykite, kad nelyginio  skaičiaus kvadratą dalydami iš 8 gauname liekaną 1.
5. Įrodykite, kad skaičiai 2n+1 ir 9n+4 realiatyviai pirminiai.
6. Raskite natūrinį skaičių, kuris turi 14 daliklių  ir dalijasi iš 3 ir 4.
7. Raskite skaičiaus n daliklių sandaugą.
8. Taikydami Euklido algoritmą, raskite:
   1. (462, 546)
   2. (420, 525)
   3. (1058, 1541)
   4. (2822, 4641)
   5. (840, 252, 1050)
9. Naudodamiesi kanoniniais skaidiniais, raskite:
   1. (96, 142)
   2. (720, 504)
   3. (252, 95, 125)
   4. (75, 220,310)
10. Raskite, kiek sakičių n, 25<n<196, nesidalija iš 8.

Polinomas

Polinomas arba daugianaris – algebrinis reiškinys – baigtinė vienanarių suma. Kitaip tariant, daugianaris yra reiškinys, kuriame skaičiai ir kintamieji siejami sudėties, atimties, daugybos ir kėlimo natūrinio skaičiaus laipsniu operacijomis. Pavyzdžiui, 3x²+3ax−5a+4 yra daugianaris. Daugianaris, susidedantis iš dviejų vienanarių, vadinamas dvinariu arba binomu. Vienanaris yra laikomas atskiru daugianario atveju.

Daugianarių suma ar sandauga yra naujas daugianaris. Daugianario ir bet kokio kito reiškinio sandauga yra lygi daugianarį sudarančių vienanarių sandaugų su šiuo reiškiniu sumai.

Kintamųjų reikšmės, su kuriomis daugianario reikšmė pasidaro lygi nuliui, vadinamos daugianario šaknimis.

Funkcija, kurios analitinė išraiška yra daugianaris, vadinama polinomine funkcija. Bet kurios polinominės funkcijos išvestinė irgi yra polinominė funkcija.

Abelio teorema

Jeigu laipsninė eilutė konverguoja taške x=x0!=0, tai ji konverguoja absoliučiai, bet kokiai x reikšmei tokiai kad |x|<|x0|
Įrodymas: Tarkime kad skaičių eilutė konverguoja.

Eilutės n-tajam nariui gauname įvertį – | |
Tada iš sąlygos q<1 išplaukia kad eilutė – geometrinė progresija- konverguoja.
Todėl eilutė konverguoja, kitaip tariant, kai |x|<||x0| eilutė konverguoja absoliučiai. Išvada jei diverguoja taške x₀ tai diverguoja su visais |x|>|x₀|.

Atvirkštinis elementas

Atvirkštinis elementas — abstrakčioje algebroje ši sąvoka apibendrina neigimo koncepciją sudėties bei daugybos operacijų atžvilgiu.

Apibrėžimas

Tegu M yra aibė, kurioje apibrėžta binarinė operacija . Tegu x prikauso M, y priklauso M ir x, y – bet kurie tos aibės elementai, o e- vienetinis elementas. Tada, jei lygtis x * y = e yra teisinga, sakoma, kad elementas x yra atvirkštinis elementui y iš kairės, o y – atvirkštinis elementui x iš dešinės.

Elementas, atvirkštinis ir iš kairės, ir iš dešinės, t. y., jei teisinga lygtis x * y = y * x = e , vadinamas tiesiog atvirkštiniu elementu ir dažnai žymimas x ^{− 1}.

Pastaba: Bendruoju atveju, tas pats elementas x gali turėti kelis atvirkštinius iš kairės bei kelis atvirkštinius iš dešinės elementus – ir šios dvi jų grupės nebūtinai turi kirstis.

Pavyzdžiai

Realiųjų skaičių aibėje atvirkštinis elementas sudėties atžvilgiu skaičiui x yra − x, o daugybos atžvilgiu — 1 / x.